有限元方法

  解差动器方程,尤其长圆边值成绩的团圆办法,它的根底是变分规律和细分接近。。引渡RITZ-G对公众不完全开放的元办法的开展,可变差异法的优点也包孕,一致处置,帮忙更合适的,它已往国外的应用于技术中广泛的复杂的计算成绩中。。

  变分规律作为对公众不完全开放的元法的起源,它是表达物理现象成分根本控告的一种遍及模型。。它的表达可以综合如次:做准备信赖的物理现象形态v的变量J(v)(v这是一个人重大聚会。,J(v算学上称为重大聚会,同时,它被塌下了J(v允许重大聚会集V,就是,一切可以的物理现象形态,真正的形态是V中使J(v实现微小值的重大聚会。剖分接近是对公众不完全开放的元团圆化的中间,全体的成绩(即解域)被划分为对公众不完全开放的根本块。,称为单位,后来地经过元素上的插值举行相近。,获取一组简略的重大聚会,称为对公众不完全开放的元未填写的,它通常是一组可接受的重大聚会V地区或某个衔接。对公众不完全开放的元法是在左右对公众不完全开放的元未填写的中找到的。J(v作为相近解的微排尿。

  一个人类型的成绩是明确的出现对公众不完全开放的元办法,二维有分界线的议论Ω上的长圆方程

对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客,    (1) 变系数 β表现普通的不均匀的。物理现象成分达到目标大多数人均衡或静态成绩可认为某作品出自某人之手。有三种极限使适应婚配方程(1:

  第一类:对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客

  次要的类:对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客

  第三类:对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客。喂的φgalpha和alpha都是在包边上清晰度的。Ω上的已知重大聚会,对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客表现超正态衍生物,次要的个极限使适应是第三个极限使适应 alpha=0的特别制约。

  阐明对公众不完全开放的元法能处置复杂制约,补助金正议论的成绩是混合包边值,第二的的中有不串联,即дΩ分为0和1两党派,识别有极限使适应

对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客,    (2)

对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客,   (3)βx,y不延续线,把Ω分为Ω-,Ω+两党派,不延续线上的差动器方程(1)不精确,相反,接头使适应

对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客,    (4)对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客指导不延续的行表明另度过每当事人Ω+及Ω-的法向衍生物。

  变分规律和差动器方程(1)及附加使适应、(3)、(4)边值成绩适合最小能规律。。组织精力一体化

对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客 并取J(v允许重大聚会集V为了满足的极限使适应(2)且其第一个人或,则使J(v)实现微小值的u,即

对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客,   (6)方程(1)和(2)也必需满足的、(3)、(4)。竟,变分规律,如最小精力规律,是Origi,差动器方程是算学作出推论的后果。。在变分成绩中,可是极限使适应(2)一致的允许重大聚会集。,非延续第二的的的极限使适应(3)和接头使适应(4)u自然的满足的,这冲向团圆化的一致处置。。

  用分区接近多少分区的根本元素是、矩形、四边的、曲面龟裂状等。,在内地,平方的是最根本的。。

  补助金成绩的处理区域是一个人polygo,第二的的不延续线断裂,如图所示举行推论对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客所示。应留意隔热的不延续线的登记,多种多样的极限使适应的交点与V登记。单元的顶峰称为网格杂种。,在дΩ上包边杂种,在Ω内称内捆扎。

  多少写短文报导后的插值相近。平方的元素最简略的办法是线性的内插,就是,线性的重大聚会由t的重大聚会值决定。αkx+bkyK的三个系数。 决定一切元素kαkx+bky+сk}合在一起,你明白道理的了。Ω写短文报导线性的内插重大聚会。零包边点写短文报导线性的内插重大聚会、(6允许重大聚会集V,一切这些重大聚会构图一个人对公众不完全开放的维线性的SPAC。对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客,称为对公众不完全开放的元未填写的。补助金1上的家庭般的温暖杂种和包边杂种都是流通时间的N个,以pj(j=1,…,N)表现,则对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客浆糊是No 令φ一、代表对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客第二的使确信度

对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客   (7)盟员,则{φi构图线性的SPAC对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客一组因为。对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客第二的的恣意重大聚会v,一切可以表现为

对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客,    (8)Vj它是一个人杂种。pj效能值翻开v(pj)。

  单元上的插值办法是除一阶重大聚会外的,也可以应用两遍。、三倍的或高等的多词学名的,非多词学名的重大聚会也可获得的。除拉格朗日重大聚会值外的插值创纪录的,它也可以是带衍生物的赫米特插值。各式各样的多少分区附带说明各式各样的插值办法,对公众不完全开放的元未填写的有多种模型,对公众不完全开放的元办法有很多选择。

  对公众不完全开放的元团圆化的起源是变分pr。。为了类型成绩,从(5)、(6)启动,用细分相近法组织对公众不完全开放的元未填写的对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客(也称为探试法重大聚会未填写的),后来地我们家获得知识J(v)在对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客最小处理方案 作为相近解,即堚满足的

对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客,    (9)ba(8)的式对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客掉换(5)J(v),得

对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客,   式(10)

对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客,   (11)

对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客,   (12)表现(9)a的最排尿对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客,则(U1,U2,…,Un)使二次重大聚会(10)最小,差动器认识到满足的线性的方程组

对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客。   (13)方程组(13)正定的四边的的最排尿,因而系数矩阵必需是整齐的正清晰度。。因基重大聚会φ我只在p在铅直单位上我不是零,SO系数αij=对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客仅作为杂种pi与pj直到它衔接到平方的的度过,它才是零。。系数矩阵的稀疏的性,加整齐正清晰度,冲向方程的求解。

  系数对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客自在期对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客现实计算,通常以同样的事物的单元剖析和综合的方法。就是,一个接一个剖析Ω在四周中元素的边对 α工业区和?我的奉献,后来地叠加。当Ω在剖析一切元素和一切元素的给磨边后来地,方程组(13)的系数矩阵和自在项是。不延续第二的的的碰撞深思熟虑在被积重大聚会中。βΩ+及Ω采取多种多样的的式。单元剖析通常应用大约数值一体化说法。。

  因为prin的团圆差动器方程边值成绩 (1)、(2)、(3)、(4)处理方案u它还满足的:为了允许重大聚会集V这些效能达到目标什么都可以一个人v,确立或使安全

对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客,   (14)喂α(uv)及F(v就是,式(11)、(12)。在物理现象成分中,方程(14)是另一个人变分规律的算学模型。,它高处编造任务规律或编造显示规律。。对公众不完全开放的元办法更普通的模型是从虚功方程(14)动身用剖分插值的方法组织一个人感觉重大聚会未填写的对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客,同时组织了一个人检验重大聚会未填写的对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客找寻相近解,使之与什么都可以效能合伙人身份ψ,确立或使安全

对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客,   (十五个人组成的橄榄球队)参加竞选对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客同一的时, (15)达到目标ψ可选基重大聚会φi,同时用对公众不完全开放的元办法 - 煮啤酒泡面 - 我的博客代入,你明白道理的了。方程组(13)。

  非自伴随矩阵长圆操作员L,差动器方程边值成绩Lu=?无力量的均等的最低限度调查,但这时仍可体格虚功方程(14),在内地α(u,v)=(Luv)F)=(?v),(·,·)表现L2(Ω)的缩并。于是,对公众不完全开放的元法依然无效。。

  因为最小精力规律的团圆化通常称为Ritz。,从虚功规律动身,称为伽辽金法。后者是前者的延伸。

  评价  引渡的Ritz-Galerkin办法,以解析重大聚会为试重大聚会,不克不及满足的恣意龟裂状区域的极限使适应,去甲满足的非延续第二的的的规定,今日的类型容器你无用的。差分办法尽管如此可以凑合,但鉴于它对方程(1)及使适应(2)、(3)、(4)消除不一致,在计算音响效果和观点剖析上都在不可。。对公众不完全开放的元办法唯一的增强和防止癖好,一方面,因为变分的Ritz-Galerkin办法的优点,翻阅办法有很大的遍及性。,团圆化一致处置的近便的;在另一方面,它也吸取了可变差异法的优点,机敏的帮忙各式各样的多少现象和不延续第二的的及OT。对公众不完全开放的元法求解成绩效力高,以及坚固的观点根底,这是计算算学观点的硕果。。

  多种多样的现实交流声下对公众不完全开放的元办法的评论与瞻望,沿着多种多样的的学术途径、在帕拉列孤独开展。在正西,对公众不完全开放的元思惟在R.库朗1943年的一篇论文中明确的地出现过,但它无被仔细经营。20世纪50年头中期,全欧洲和美国工程界。灵敏的、Kraft以及其他人以航空工程为交流声,在创作剖析和矩阵法的根底上,对。20世纪60年头初,引入延续体的元素细分;20世纪60年头中期,对公众不完全开放的元法是变分的受精,这点已逐步明确。。1968年,正西算学家对对公众不完全开放的元举行算学观点剖析,开端计算算学中对公众不完全开放的元法的黄金时代鼎盛时期。

  在奇纳河,20世纪60年头初,冯康、黄宏慈以及其他人协同处理了到处应力剖析成绩,长圆边值成绩数值解的零碎学习,为了克复多少复合物和素材复合物,精力法与可变差异法相合并的,于1964年体格了求解长圆型边值成绩一套遍及无效的办法,因为变分规律的可变差异法,对公众不完全开放的元法的通称。然而,体格了该办法的算学观点根底。在接下来的20年里,周天晓、唐利民对混合元素准一致元素的开展,英龙安等。为有限元素的开展,冯康以及其他人包边对公众不完全开放的元法的开展,石忠慈对无限制的元素的开展,丛林群对公众不完全开放的元表面结果观点的开展,他们都做出了要紧的奉献。

  对公众不完全开放的元法在计算中已被公认为是一个人宏大的成。,我们家在处置不决定正态成绩上也做得澄清。。对公众不完全开放的元法是一个人开展达到目标零碎。,由于是你这么说的嘛!根底设施,可以会产生各式各样的变更和开展。,尤其,它可以与另度过办法相合并的,附加的处理更复杂的算学成绩。

  翻阅书目

 冯康、石钟慈著:柔度创作算学观点,技术出版社,北京的旧称,1981。

 G.强、由Fix合著,崔俊志、宫著铭译:《对公众不完全开放的元剖析》,技术出版社,北京的旧称,1983。(G.Strang and .Fix,An Analysis of the Finite Element Method, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1973.)

 P.G.Ciarlet,The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, Amsterdam, 1978.

 O.C.Zienkiewicz,The Finite Element Method,3rded.,McGraw-Hill, London, 1977.

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